derivadas

Derivada de una función constante

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Derivada de la función exponencial

La derivada de la función exponencial ea igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

Derivada de la función exponencial de base e

La derivada de la función exponencial de base e ea igual a la misma función por la derivada del exponente.

 REGLA DE LA CADENA

 

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

 

                                            

 

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

 

                                          

 

entonces la función compuesta

 

                                    

 

definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

 

                                    

 

 

Ejemplo: cálculo de derivadas

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 Calcular la derivada de la función h(x) = sen x².

 

Resolución:

 

· La función sen x² es una función compuesta de otras dos f(x) = x²  y g(x) = sen x.

 

                                      

 

 

· Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x²

 

             

 

· Por la regla de la cadena,

 

h'(x) = g'[f(x)] · f'(x) = 2x cos x²

 

Regla de la cadena para las funciones exponenciales

 

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una función f(x) = a^u y para otra g(x) = e^u,

 

                                   f'(x) = (a^u )' = u' · a^u · ln a

 

                                         g'(x) = (e^u )' = u' · e^u

 

 

Ejercicio: cálculo de derivadas

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 Calcular la derivada de f(x) = 4^{x sen x}

 

Resolución:

 

· Llamando u = x · sen x, u' = 1 · sen x + x cos x

 

                        f'(x) = (4^{x sen x} )' = (sen x + x cos x) · 4^{x sen x} · ln 4

 

 

Resolución:

 

DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Es posible derivar una función dada implícitamente sin necesidad de expresarlo explícitamente. El método consiste en derivar los dos miembros de la relación. El procedimiento se conoce como derivación implícita.

Definición: se denomina función implícita cuando se da una relación entrex yy por medio de una ecuación no resuelta paray, entoncesy se llama función implícita dex.

Por ejemplo:

0

4

2

=

−

x

define ay como una función implícita dex. Es claro que por medio

de esta ecuaciónx se define igualmente como función implícita dey.

Uno de los procedimientos para calcular la derivada implícita es derivar la

ecuación término a término, considerandoy como función dex, y de la

ecuación resultante despejardx

dy, o lo que es lo mismo despejary ’.