maximo y minimo 

Crecimiento y decrecimiento.

Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto:

? Una función f(x) es creciente en un punto a, si su derivada es positiva ? Una función f(x) es decreciente en un punto a, si su derivada es negativa. Es decir,

Si Si

Como Þ ,es decir, la función es creciente en

En este caso Þ , es decir, la función es decreciente en

x = a Estudiar la monotonía de una función es hallar los intervalos en los que es creciente y decreciente.

Se procede de la siguiente forma:

• Se halla la derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante • Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos. • Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes.

Ejemplo 1.

Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

Hallamos la derivada: La igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante:

  Þ  

Dividimos el dominio R por los puntos 3 y 1 y obtenemos los intervalos

 ,     y    

Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo: Para x = 0, , es decir, positiva Para x = 2, , es decir, negativa Para x = 4, , positiva

La monotonía de la función queda reflejada en la siguiente tabla: Intervalos (- ∞, 1) (1, 3) (3, +∞) Signo de la derivada + - + Función Þ à Þ

Máximos y mínimos. Son los puntos en que la función cambia de monotonía.

? Si una función derivable presenta un máximo o un mínimo en un punto , entonces

En el punto de abscisa x = c la función pasa de creciente a decreciente

Geométricamente significa que la tangente en el punto x = c es horizontal ? Si y existe la segunda derivada, se verifica:

     Si  , hay un mínimo relativo en el punto c

     Si  , hay un máximo en dicho punto.

Demostración: Lo hacemos para el caso de mínimo: Si la función es creciente en c luego

 Y como  ,   , es decir, la derivada es negativa a la izquierda de c (función decreciente) y positiva a la derecha (función creciente), por tanto, existe mínimo relativo en c.

Para la determinación de máximos y mínimos podemos utilizar los siguientes criterios:

Criterio de la primera derivada:

• Se determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento. • Existe máximo relativo en los puntos en que la función pasa de creciente a decreciente. • Existe mínimo relativo en los puntos en que pasa de decreciente a creciente.

Criterio de la segunda derivada: • Calculamos la primera derivada, la igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante. • Hallamos la segunda derivada. • Las raíces de la ecuación obtenida se sustituyen en la segunda derivada. • Si el resultado obtenido es positivo existe mínimo y si es negativo máximo.

Ejemplo 2.

Halla los máximos y mínimos de la función Hallamos la primera derivada y resolvemos la ecuación :

  Þ   Þ  

2ª derivada:

Valores de la segunda derivada en los puntos obtenidos:

   Þ   $ mínimo para x = - 1

   Þ  $ máximo para x = 1

Concavidad y convexidad.

Los conceptos con convexidad y concavidad son relativos. Adoptaremos el siguiente criterio: La función es convexa en un intervalo si la gráfica de la función queda encima de la recta tangente en un punto cualquiera del intervalo. La función es cóncava cuando la gráfica queda por debajo.

Puntos de inflexión son aquellos en los que la función cambia de convexa a cóncava o de cóncava a convexa.

? Una función derivable es convexa en un intervalo (a, b), si ? Una función derivable es cóncava en un intervalo (a, b), si

Estudiar la curvatura de una función consiste en hallar los intervalos en los que es cóncava y convexa. Se procede de la siguiente forma: • Se halla la segunda derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante. • Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos. • Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes.

Ejemplo 2. Halla los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de la función

Primera derivada: Segunda derivada:

   Þ     Þ  

Dividiendo el dominio R por los puntos –1 y 1 se obtienen los siguientes intervalos:

Estudiamos el signo de la segunda derivada en un punto cualquiera de cada intervalo: Para x = −2 , función convexa. Para x = 0, , función cóncava Para x = 2, , función convexa

La curvatura queda reflejada en la siguiente tabla:

Intervalos (- ∞, −1) (−1, 1) (1, +∞) Signo de la 2ª derivada + - + Función È Ç È Existen puntos de inflexión para x = −1 y para x = 1

Resolución de problemas de optimización.

Son problemas en los que se trata de optimizar una función. Por ejemplo, en una producción obtener los mayores beneficios con los mínimos gastos. Con los datos del problema hay que construir una función que se ha de maximizar o minimizar dentro de las condiciones exigidas.

Ejemplo 3.

De una lámina cuadrada de lado 10 cm. se cortan cuadrados en cada uno de los vértices con el objeto de hacer una caja abierta por arriba. Calcula el lado del cuadrado que se debe cortar para que el volumen de la caja sea máximo.

Volumen de la caja =

  (Función a maximizar)

 ;   

 Þ   ; 

  (mínimo, no se forma caja)

  (máximo).  La solución es 

Ejemplo 4

Un pastor dispone de 1000 metros de tela metálica para construir un cerco rectangular aprovechando una pared ya existente. Halla las dimensiones del cerco a fin de el área encerrada sea máxima.

Perímetro = x + 2y = 1000 Þ x = 1000 – 2y Área = x . y, es decir,

  (Función a maximizar )

 ;    

   Þ  y = 250

Como la segunda derivada es negativa se trata de un máximo.

Las dimensiones serán: 500 metros de largo y 250 de ancho.

Criterio de la segunda derivada

 

Uno de los ordenes de derivación es el de la segunda derivada, aunque no es despreciable la utilización de las derivadas de orden superior, sobre todo en cálculo de errores. Curiosamente las aplicaciones físicas implican, por lo general, derivadas de segundo orden como podría ser las ecuaciones de movimiento.

 

En esta sección presentaremos una interpretación gráfica de los criterios de la segunda derivada que nos servirá para poder obtener los máximos o mínimos de una función. Antes de analizar como es la relación de la segunda derivada conoceremos algunas definiciones:

 

Definición.

Cóncava hacia abajo. Se dice que una función es  cóncava  hacia abajo cuando la primera derivada es  creciente en un intervalo abierto (a,b)

 

 

 

Definición.

Puntos de inflexión y número de inflexión. Sea f una función y a un número. Supongamos que existe números b y c tales que b<a<c  y además:

a)      f es una función continua en el intervalo abierto (b,c)

b)      f es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (a,c), o viceversa.

 

Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a)) se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de inflexión.

 

Si la segunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada f´ es creciente en ese  intervalo.

 

 

 

 

 

 

 

 

Criterios de la segunda derivada para máximos y mínimos relativos

 

 

Sea f una función con su primera derivada definida, al menos, en un intervalo abierto conteniendo al número a. Si f´´ esta definida entonces podemos considerar los siguiente aspectos:

 

a).-  Si f´(a)=0   y     f´´(a)<0 entonces se dice que f tiene un máximo local en a.

b).- Si f´(a)=0    y    f´(a)>0 entonces se dice que f tiene un mínimo local en a.

 

La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:

 

1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.

2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.

3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.

 

Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b  con a<c<b tales que

 

1.-  f es continua en el intervalo abierto (a,b) (de acuerdo con el teorema de Rolle)

2.- f es derivable en el intervalo abierto (a,b), excepto quizá en c;

3.- f´(x) es positiva para todo x<c en el intervalo y negativa para todo x>c en el intervalo.

 

Entonces f tiene un máximo local en c.

 

Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar  “positivo”  por “negativo”.